Princípio Fundamental da Contagem: como resolver questões

Em provas de concurso, muitos problemas de análise combinatória podem ser resolvidos contando as escolhas de cada etapa e combinando os resultados. O segredo está em identificar se as decisões acontecem em sequência, quais opções ficam disponíveis a cada passo e se há alguma restrição.

Por que multiplicamos as possibilidades?

Vamos voltar às roupas. Imagine três camisetas — A, B e C — e duas calças — 1 e 2. Ao escolher a camiseta A, você pode usá-la com a calça 1 ou com a calça 2. O mesmo vale para as outras duas camisetas.

Há três opções para a primeira escolha e duas para a segunda. Como cada uma das três camisetas pode ser combinada com cada uma das duas calças, multiplicamos:

Essa é a lógica do Princípio Fundamental da Contagem (PFC): se uma tarefa é realizada em etapas sucessivas, e uma etapa pode ser feita de m maneiras e a seguinte de n maneiras, então o total de resultados possíveis é m × n, desde que cada combinação de escolhas conte como um resultado válido.

Se houver mais etapas, continuamos multiplicando as opções de cada uma. Por exemplo, com três camisetas, duas calças e dois pares de sapatos, o total seria 3 × 2 × 2 = 12 conjuntos completos.

Exemplo resolvido: quantos conjuntos podem ser formados?

Uma pessoa possui 4 camisetas, 3 calças e 2 pares de tênis. Considerando que todas as peças podem ser usadas entre si, de quantas maneiras ela pode escolher um conjunto formado por uma camiseta, uma calça e um par de tênis?

Logo, há 24 conjuntos possíveis. Repare que não somamos 4 + 3 + 2: a pessoa não está escolhendo uma peça entre todas as peças disponíveis; ela precisa fazer uma escolha de cada tipo.

Quando devemos somar em vez de multiplicar?

Essa é uma distinção importante. Multiplicamos quando uma opção de cada etapa deve ser combinada com as opções das outras etapas. Somamos quando estamos contando alternativas separadas, das quais apenas uma será escolhida, sem sobreposição entre os casos.

Compare: se ela precisa escolher uma camiseta e uma calça, multiplica-se. Se precisa escolher uma rota de ônibus ou uma rota de metrô entre alternativas distintas, soma-se. A palavra “ou” pode ser uma pista, mas não decida apenas por uma palavra: confira o que a situação permite fazer.

O princípio fundamental aplicado a códigos e números

O mesmo raciocínio aparece em questões com senhas, códigos e números. Nesses casos, a principal dificuldade é verificar se as escolhas de uma posição alteram as opções das posições seguintes.

Exemplo 1: uma senha de quatro algarismos

Uma senha tem quatro posições e cada posição pode conter qualquer algarismo de 0 a 9. Como os algarismos podem se repetir, há 10 opções para cada posição:

Exemplo 2: números de três algarismos sem repetição

Agora queremos formar números de três algarismos usando os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, sem repetir nenhum deles. Para a centena, há 5 opções. Escolhida a centena, restam 4 opções para a dezena e 3 para a unidade.

Note a diferença: no primeiro exemplo, uma escolha não retirava opções das posições seguintes. No segundo, cada dígito utilizado deixava de estar disponível. Por isso, o número de possibilidades diminui a cada etapa.

Uma atenção comum em provas: uma senha ou código pode começar com zero, mas um número de três algarismos não. Em um problema com números, essa condição muda a quantidade de opções para a primeira posição.

Como organizar o raciocínio antes de fazer a conta

Quando encontrar um problema de contagem, tente responder a estas perguntas antes de multiplicar:

1. Quais são as etapas? Por exemplo, escolher uma camiseta, depois uma calça e, por fim, um par de tênis.
2. Quantas opções existem em cada etapa? Conte as opções disponíveis no momento em que a escolha é feita.
3. Uma escolha muda as opções seguintes? Se não há repetição, pode haver menos opções nas etapas seguintes; se a repetição é permitida, a quantidade pode permanecer igual.
4. Há alguma restrição? Um algarismo que não pode aparecer no início, uma peça incompatível com outra ou uma pessoa que não pode ocupar duas funções altera a contagem.

Questões para praticar

Tente resolver antes de abrir cada resposta. Preste atenção à razão pela qual multiplicamos ou somamos.

O que lembrar para a prova

O Princípio Fundamental da Contagem ajuda a contar resultados sem precisar listar todos eles. Quando a tarefa exige escolhas em etapas sucessivas, multiplicamos as opções de cada etapa. Quando contamos alternativas distintas entre as quais apenas uma será escolhida, podemos somar as quantidades. A parte decisiva é interpretar o enunciado e verificar as restrições antes de começar a conta.

Este conteúdo faz parte da série de Matemática para Concursos da Seleção Acadêmica.