COMBINAÇÃO SIMPLES: Quando usar?

A combinação costuma causar confusão porque se parece com o arranjo: nos dois casos, selecionamos alguns elementos de um conjunto. A diferença está no que consideramos um resultado diferente. Vamos construir essa ideia antes de decorar a fórmula.

O que é combinação simples?

Usamos combinação simples quando escolhemos uma parte dos elementos disponíveis, sem repetição, e a ordem dos escolhidos não altera o grupo formado.

Imagine que precisamos escolher duas pessoas entre Ana, Bruno e Caio. As duplas possíveis são:

Se a ordem fosse importante, poderíamos contar Ana–Bruno e Bruno–Ana como resultados diferentes. Mas, para formar uma comissão sem cargos específicos, isso seria contar o mesmo grupo duas vezes.

Por que a combinação tem uma fórmula diferente?

Vamos começar com um exemplo que já conhecemos. Suponha que oito pessoas disputem três cargos diferentes. Como cada cargo tem uma função própria, a ordem importa. O número de maneiras de preencher os cargos é:

Agora retire os cargos. Queremos apenas formar uma comissão com três das oito pessoas. O cálculo de 336 contou a mesma comissão de várias formas: para cada trio, existem 3! = 6 maneiras de ordenar seus integrantes. Por exemplo, Ana–Bruno–Caio, Ana–Caio–Bruno e as outras quatro ordens continuam sendo a mesma comissão.

Para deixar de contar cada grupo seis vezes, dividimos o número de arranjos por 3!:

Assim chegamos à fórmula geral da combinação simples:

O fatorial já apareceu no estudo de permutação. Lembre-se de que 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 e, por definição, 0! = 1. Na fórmula da combinação, o fator p! corrige as repetições causadas pelas diferentes ordens dos mesmos escolhidos.

Exemplo resolvido: uma comissão de quatro pessoas

Uma instituição tem dez servidores aptos a participar de uma comissão. De quantas maneiras diferentes é possível escolher quatro deles, sabendo que os integrantes não terão cargos diferentes dentro do grupo?

Como a ordem não importa e ninguém será escolhido mais de uma vez, aplicamos a combinação simples:

Podemos simplificar o fatorial de 10, cancelando o 6! do denominador:

Portanto, há 210 comissões diferentes. A conta pode parecer longa, mas a interpretação do enunciado é a parte mais importante: o grupo não tem cargos nem posições distintas, então a ordem não altera o resultado.

Combinação ou arranjo? Compare as duas situações

Uma boa maneira de testar sua escolha é manter as mesmas pessoas e mudar apenas o objetivo do problema.

Repare que não basta encontrar palavras como “escolher”, “selecionar” ou “formar”. Em uma questão, “escolher três pessoas” pode significar combinação, mas, se elas ocuparão três cargos distintos, será arranjo. Leia o objetivo da escolha.

Propriedades úteis da combinação

Há uma propriedade que pode simplificar algumas contas: escolher p elementos entre n equivale a deixar de fora os outros n − p elementos. Por isso:

Por exemplo, C_10,3 = C_10,7. As duas expressões representam o mesmo número de grupos. Essa propriedade também serve para conferir um resultado, embora nem sempre seja o caminho mais curto para calculá-lo.

Questões para praticar

Tente identificar primeiro se a ordem importa. Só depois faça a conta.

O que lembrar para a prova

A combinação simples aparece quando você escolhe alguns elementos, não os repete e considera que a ordem não muda o grupo formado. A fórmula é C_n,p = n!/[p!(n − p)!]. Se a mudança de posição transformar o resultado — como acontece ao distribuir cargos diferentes ou definir primeiro e segundo lugar — a combinação não é adequada. Antes de fazer a conta, pergunte: “Se eu trocar a ordem dos escolhidos, terei realmente um resultado novo?”

Este conteúdo faz parte da série de Matemática para Concursos da Seleção Acadêmica.